Aclaracion sobre Unidad 5

Los temas de la unidad 5, a primera vista, parecen muy complicados por las numerosas referencias técnicas de las distintas teorías matemáticas y físicas que se ven en los distintos materiales que ustedes deben leer. Pero lo importante de esas teorías no son los detalles técnicos específicos en sí sino las consecuencias epistemológicas de las mismas que van a producir una ruptura con el ideal de ciencia de la modernidad (cuestionamiento de la racionalidad de la matemática y la física que se afianzó durante el periodo iluminista y se consolidó en el siglo XIX).

El texto "Breve historia de las matemáticas" de Mónica Cerutti se relaciona con el texto de Nair Teresa Guiber "Las caídas del ideal platónico del conocimiento". No son independientes entre sí. El surgimiento de las tres nuevas teorías matemáticas de las cuales habla Cerutti constituyen las "tres caídas" para Guiber. Ahora bien, estos temas no pueden comprenderse si no se ha comprendido cuál es el ideal platónico del conocimiento absoluto (visto en la primera parte de la asignatura), es decir la continuidad entre el pensamiento de Platón y Euclides, y a su vez, la continuidad entre estos dos pensadores y Galileo. Además, para entender el tema de las geometrían no euclideanas primero es necesario haber comprendido en qué consiste la geometría de Euclides (visto en la unidad 2).



Consecuencias epistemológicas del surgimiento de las geometías no euclideanas:

(primera caída del ideal platónico del conocimiento absoluto)

Recordemos que el sistema axiomático de Euclides para la geometría tomaba como punto de partida absoluto para sus demostraciones a un tipo de enunciados que no necesitaban demostración previa sino que se los aceptaba como verdaderos por su generalidad y su alto grado de abstracción, lo que los hacía evidentes. La evidencia (lo que se manifiesta espontáneamente como verdadero era el criterio de verdad de los enunciados que se tomaban como punto de partida de la cadena deductiva. Estos eran llamados principios y los había de dos tipos: los axiomas y los postulados. Un axioma es un principìo lógico general aplicable a cualquier ciencia, por ejemplo, "Toda cosa es igual a sí misma", esto es verdadero porque es evidente, no necesita deducirse de otro enunciado anterior ni tampoco comprobarse empíricamente. Un postulado es un principio de la disciplina con la cual trabajamos, en este caso la geometría, por ejemplo, el quinto postulado (en su versión moderna) "Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela. Esto también es evidente para Euclides, no necesita ser demostrado previamente ni confirmado por la experiencia sensible.

A partir de los axiomas y postulados utilizando el razonamiento deductivo (válido) se pueden demostrar los teoremas de la geometría. El razonamiento deductivo tiene la propiedad de garantizar la correcta transmisión de la verdad desde las premisas a la conclusión. Si el punto de partida es verdadero, el enunciado que queremos demostrar también lo será necesariamente si hemos aplicado correctamente las reglas lógicas deductivas. Un teorema, por ejemplo, el de Pitágoras "La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa" (que es muy anterior a Euclides) ahora podría ser demostrado por el método demostrativo del sistema axiomático de Euclides a partir de axiomas y postulados que, a su vez, no necesitaron demostrarse previamente sino que se los aceptó como verdaderos por su evidencia. Si los axiomas y postulados son verdaderos, y lo son por su evidencia, los teoremas también serán necesriamente verdaderos. La garantía de la verdad está sustentada en la evidencia del punto de partida y en la validez de las reglas lógicas deductivas.

En el siglo XIX, esto va a cambiar debido a que los matemáticos sospechaban que el quinto postulado de Euclides (Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela) no era un principio sino que era un teorema más del sistema ya que, pensaban que no era evidente y se lo podría demostrar. Intentaron demostrarlo por el absurdo. La demostración por el absurdo tiene un primer paso: negar aquello que se quiere demostrar. El objetivo es llegar a una contradicción. Esta contradicción indicaría que se ha partido de una premisa falsa. Si la negación es falsa, entonces la afirmación sería verdadera. Así quedaría demostrado el quinto postulado de Euclides.

El quinto postulado puede negarse así: "No es verdad que por un punto exterior a una recta pase una sola palela" Pero esto admite dos posibilidades "Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela" o "Por un punto exterior a una recta pasan muchas paralelas". Lo primero es lo que hizo el matemático aleman Riemann y lo segndo es lo que hizo el matemático ruso Lovatchevsky. Pero, para sorpresa de ellos, no cayeron en ninguna contradicción. No pudieron demostrar por el absurdo el quinto postulado de Euclides sino que habían construido dos nuevos sistemas geométricos tan consistentes (ausentes de contradicción) como el de Euclides. Riemman construyó la nueva geometría esférica o elíptica y Lovatchevsky construyó la nueva geometría hiperbólica (espacial). Ahora era tan verdadero que por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela que por un punto exterior a una recta no pasa ninguna como que por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas. Pero cada verdad quedaba circunscripta a su propio sistema. Lo que es verdad en el sistema de Euclides no lo es en los otros dos y viceversa. Por ejemplo: si yo soy un maestro mayor de obra y debo dibujar un plano en mi tablero, tengo que usar la geometría plana de Euclides, que es la que usaba Galileo para identificar espacio físico con espacio geométrico abstracto. Pero si yo soy un agrimensor y me contrata Migues (presidente de la benemérita y nunca bien ponderada institución llamada Sociedad Rural Argentina, que algunos sospechan que es supraestructura de un sector social llamado oligarquía que parece que los desagradecidos ahora olvidan los servicios prestados por ese sector y esa institución a... a... a... al Imperio Británico y sus sucesores contemporáneos(a las pruebas históricas me remito)). Perdón! Me estoy saliendo de la unidad 5. Vuelvo a la unidad 5. Si me contrata el nuevo "lider popular" Migues para medir su campo, y yo usara la geometría plana de Euclides, entonces los cálculos me van a salir mal y Migues me va a dar una patada y me va a decir que me dedique a otra cosa. ¿Por qué los cálculos me van a salir mal? Por la curvatura de la tierra. Migues no tiene un jardincito al frente de su casa donde planta margaritas ni tampoco un fondito donde cria gallinas. Tiene miles y miles de hectáreas donde planta soja provista por la multinacional sojera Monsanto. No es un chacarero de octava como los chacareros similares a De Angelis de Gualeguaychú que tiene solo 400 hectáreas y si se descuidan un poquito, si el Estado no les perdonaba las deudas y no le daba prestamos blandos los Migues se quedaban con su "campito" por los remates despiadados (pero De Angelis, dirigente agrario maoísta, si! leyeron bien "maoísta", identifica como al enemigo al Estado, que en un contexto no liberal debe velar por el interés del más débil, y al amigo a la Sociedad Rural Argentina, que le importa un pito el más débil y siempre se aprovechó de las políticas liberales de exclusión). Qué diría Mao tse tung de esto! Uy! Otra vez me fui de la unidad 5 y me pasé a la 6. Perdón! Pero como les dije más de una vez a ustedes personalmente, si no pusiera tanta pasión en este trabajo como lo hago, me presentaría ante ustedes como un vegetal que habla. Perdón! Vuelvo a la unidad 5. O sea que yo para ser fiel al mandato de Migues debo usar la geometría de Riemann que toma en cuenta la curvatura de la tierra. Y si soy un científico de la NASA y tengo que mandar una nave espacial a Júpiter, voy a tener que tener en cuenta las dimensiones cóncavas del espacio sideral y utilizar la geometría de Lovatchevsky, de lo contrario la nave llegaría a cualquier otro punto del universo.

¿Qué consecuencias epistemológicas nos deja todo esto? La aparición de las geometrías no euclideanas cuestionan la noción de evidencia de los axiomas. Y no hay una única y absoluta noción del espacio físico sino que hay varias maneras de concebir al espacio físico. Galileo identificaba al espacio físico natural con el espacio plano abstracto de la geometría de Euclides. Ahora esa noción de espacio no es absoluta. No hay una única manera de concebir al espacio. A partir de ahora no hay una única geometría "verdadera" y absoluta. La verdad de los teoremas de esa geometría se basaba en la evidencia de los axiomas. Ahorra esa evidencia está en cuestiionamiento. Ya no se puede decir que los axiomas sean absolutamente evidentes, la evidencia se relativiza a un contexto, a un sistema, pero no se hace extensiva a los otros sistemas. La suma de los ángulos interiores de un triángulos suma 180 grados es verdadero en la geometría plana pero no lo es en las otras dos. No hay evidencia absoluta sino relativa a un sistema.

Pero como los tres sistemas son consistentes dentro de sus propios límites interiores, es decir no tienen contradicciones internas, se toma a la consistencia (ausencia de contradicción) como criterio de verdad.

Esto es lo que Nair T. Guiber llama la "primera caída del ideal platónico del conocimiento absoluto". Es un primer golpe a la racionalidad perfecta de la matemática moderna. Las matemáticas ya no son tan exactas y no hay una sola.



Pasemos a la "segunda caída":

Cantor, intentando resolver problemas de la matemáticas de los números naturales de Giusepe Peano (modernidad), diseña un nuevo sistema: la matemática de conjuntos. Pero sucede que aplicando sus nuevas teorías se puede demostrar que la parte es igual al todo. Y esto es una contradicción lógica, una paradoja. La racionalidad de la matemática y la lógica moderna no puede admitir la paradoja. Cantor se dedica entonces a tratar de resolver esta paradoja pero cae en una nueva paradoja: ahor se pude demostrar que la parte es mayor al todo. Los matemáticos intentando resolver una paradoja crean un nuevo sistema y caen en una nueva paradoja. Se multiplican los sistemas y se multiplican, a su vez, las paradojas. Ahora la consistencia (ausencia de contradicción) de la matemática y la lógica modernas se ven amenazadas.

La racionalidad fundada en la exactitud y la no contradicción sufre otro traspié.



El teorema de Gödel da el tiro de gracia a la racionalidad matemática de la modernidad:

Con Gödel ya no queda ni siquiera el recurso a la consistencia. La consistencia absoluta es un ideal inalcanzable para Gödel. Como consecuencia de su famoso teorema él llega a la conclusión que si un sistema es consistente (es decir, si no tiene contradicciones manifiestas) es porque es incompleto ya que de ese sistema se podrían seguir derivando muchos teoremas y, al mismo tiempo, sus negaciones, es decir que la contradicción está siempre latente. Y, si un sistema es completo, es, según Gödel, inconsistente.

O sea que ahora lo que se relativiza es la consistencia. No hay un único sistema matemático que pueda ser exacto, único, absoluto, consistente.

Se viene abajo el ideal de racionalidad de la ciencia moderna.



Podemos agregar algo que no trata Nair T. Guiber, el tema de la física cuántica y la enunciación del principio de incertidumbre. Que es otra verdadera caída del ideal de ciencia de la modernidad porque se viene abajo la concepción de universo mecánico, pre-determinado de Newton y Laplace.

Newton había diseñado un modelo de universo perfecto, un mecanismo de relojería perfecto, en el que todos los fenómenos estaban predeterminados. Laplace, en el siglo XIX perfecciona esta idea de universo pre-determinado en donde todo podría predecirse. Si esto no se llega a lograr es, para Laplace, por las limitaciones de la estructura cognitiva humana y no por la estructura mecanicista del universo. Es como si al universo se le hubiera dado cuerda y todo el despliegue posterior ya puede ser previsto.

Con el desarrollo de la física cuántica, Werner Heisenberg llega a enunciar su principio de incertidumbre luego de que él y sus colegas intentando predecir la posición futura de partículas subatómicas o la trayectoria que estas describen, se da cuenta de que si se calcula la posición no es posible calcular la trayectoria que la lleva a esa posición, y si se calcula la trayectoria que sigue esa partícula no se puede predecir en qué posición quedará. Es decir que, a nivel subatómico, hay indeterminación de los fenómenos. A diferencia de lo que ocurre en macrofísica donde rigen las leyes newtonianas, en el ámbito de la física cuántica sub-atómica no hay posibilidad de predecir mecánicamente los fenómenos futuros. A nivel cuantico no hay posibilidad de predeterminar la posición o la trayectoria de las partículas.

Esto cuestiona la concepción mecanicista de la física newoniana, cuestiona al determinismo en el que se basó la idea de progreso del iluminismo del siglo XVIII y luego del positivismo del siglo XIX, cuestiona el traslado de los principios mecanicistas y deterministas a la biología evolucionista y su traslado a la historia y a la sociedad (recordemos la crítica de Paulo Freire a las concepciones mecanicistas y deterministas de la historia: liberalismo y marxismo ortodoxo).

Además el principio de incertidumbre y la física cuántica cuestionan la supuesta racionalidad, la supuesta objetividad y la supuesta neutralidad de la ciencia, ideales de la modernidad. Ya no se puede hablar de un sujeto independiente del objeto: lo observado y el observador forman parte de una misma dimensión indisoluble. No hay más distinción tajante entre objeto y sujeto. A nivel cuántico cambia el comportamiento de la materia desde el mismo momento en que es observada por el observador. La materia se comporta como onda y pasa a comportarse como partícula en el mismo momento en que es observada. Es como si la materia tuviera "conciencia" de que está siendo observada. Con esto ya no se puede hablar de un observador que da testimonio del mundo tal cual es (pretensión de colocarse en el lugar de Dios) sino que la ciencia ahora tiene que aceptar que navega entre las fronteras del conocimiento y el misterio.